МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА"
ЗВІТ до лабораторної роботи №1 на тему: ПОХИБКИ ОБЧИСЛЮВАЛЬНИХ ПРОЦЕСІВ з курсу "Чисельні методи в інформатиці" 1. МЕТА РОБОТИ Мета роботи – ознайомлення із механізмами виникнення та оцінки похибок у числовому результаті. 2. ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА 2.1. Класифікація похибок Похибка – це різниця між істинним значенням величини (вважаючи це істинне значення відомим) і його наближеним значенням. Тобто:


(1) де
– похибка; х – точне значення величини;
– наближення значення величини. У багатьох випадках знак похибки невідомий. Тоді доцільно користуватися абсолютною похибкою наближеного числа.

(2) Найчастіше число х невідоме і, відповідно, не можна визначити і абсолютну похибку. У такому разі корисно замість невідомої теоретичної абсолютної похибки
ввести її оцінку зверху, так звану граничну абсолютну похибку. Під граничною абсолютною похибкою
наближеного числа розуміється будь-яке число, не менше від абсолютної похибки цього числа. Звідси випливає, що точне число
обмежене границями:
. (3) Практично вигідно як
вибирати якомога менше при даних обставинах число, яке задовольняє нерівність (3). Відносною похибкою
наближеного числа х називається відношення абсолютної похибки
цього числа до модуля відповідного точного числа х
, тобто:
. (4) Граничною відносною похибкою
даного наближеного числа називається будь-яке число, не менше від відносної похибки цього числа. За визначенням маємо:
. (5) Оскільки
, то замість формули (4) часто використовують формулу:
. (6) Звідси по відомій граничній відносній похибці
отримуємо межі точного числа, які умовно записують так:
. (7) У процесі числового розв'язання деякої задачі доводиться мати справу із трьома основними видами похибок: похибки, що містяться у початковій інформації; похибки, що виникають при обмеженні нескінченного математичного процесу скінченним числом операцій (похибки обмеження); похибки, що виникають внаслідок необхідності подавати число у вигляді скінченної послідовності цифр (похибки заокруглення). Кожну із цих похибок можна представити в абсолютній та відносній формах. 2.2. Похибки у початковій інформації Похибки вхідної інформації виникають внаслідок неточності вимірювань, грубих промахів або через неможливість представити необхідну величину скінченним дробом. Багато чисел не можна представити точно обмеженим числом значущих цифр. Наприклад, число
, яке є ірраціональним числом. Неможливо точно представити і періодичні дроби. Часто буває також, що дроби, які є скінченими в одній системі числення, стають нескінченними в іншій. 2.3. Похибки обмеження Похибки обмеження визначаються тими числовими методами, які були використані для розв'язання задачі. Наприклад, при обчисленні функції синуса за допомогою степеневого ряду:
(8) неможливо використати всі члени ряду, оскільки ряд є нескінченним. Обчислення обмежуються скінченним числом членів. Наприклад, до х7 або х9. Відкинуті члени ряду (а їх число нескінченне) вносять деяку похибку в результат обчислень. Ця похибка називається похибкою обмеження, оскільки вона виникає внаслідок обмеження нескінченного математичного процесу. Дуже багато процесів, що використовуються при обчисленнях, є нескінченними, так що аналіз похибок обмеження дуже важливий. 2.4. Похибки заокруглення Навіть, якщо припустити, що початкова інформація не містить ніяких похибок, а всі обчислювальні процеси є скінченними і не приводять до похибок обмеження, то в і такому випадку присутній третій тип похибок – похибки заокруглення. Оскіл...